대학저널

-4점, 도대체 감을 못 잡겠다.-

‘감을 못잡겠다.’ 슬프지만, 수험생들이 즐겨쓰는 표현이다. 감을 잡지 못하는 4점 문제에 대한 해법은 딱히 손에 잡히는 그 무엇으로 설명하기가 참 곤란하다. 흔한 표현으로 4점짜리 기출문제를 많이 다뤄보고, 다양한 풀이 방법을 생각해봐라 정도.

수험생들도 별 뾰족한 방법이 없으니 4점짜리 문제의 풀이를 그냥 외우는 수준으로 대처를 하는 경향이 많다. 물론 수학에서 문제 풀이를 외우는 것도 중요한 방법이다. 그러나 외운 풀이로 4점 문제를 대비한다는 것이 큰 효과가 없다는 것은 시험을 보면서 절실히 느끼게 된다. 말 그대로 4점짜리 문제는 도대체가 감이 잡히지 않는다.

-4점은 왜 내게 ‘死점’이지?-

모든 문제점의 해결은 그 원인의 분석에서 시작해야 한다. 왜 내게만 ‘死점’이 되는지 그 원인을 살펴보자.

1. 2, 3점 문제를 완벽하게 정리하지 않았다.
2, 3점 문제를 제대로 정리하지 않으면, 4점 문제풀이는 힘들게 된다. 특히 4점 문제는 해석 과정을 거쳐서 개념을 찾아내게 되면 2, 3점 문제의 풀이 형태로 바뀌게 된다. 따라서 2, 3점 문제에서 요구하는 개념과 풀이가 완벽하게 정리되지 않으면 4점 정복은힘들게 된다. 가끔가다 해석하는 과정은 잘하지만, 실제 풀이를 전개하지 못하는 경우에 해당하는 친구들은 특히 주의할 필요가 있다.

2. 해설을 볼 뿐 또 다시 분석을 하지는 않는다.
문제가 풀리지 않으면 해설을 참고하게 되는데, 여기서 보통 너무 가볍게 대처를 한다. 풀이를 보며 연신 고개를 끄덕이면서 마치 모든 것이 전부 해결된 듯 생각한다. 하지만 이러한 태도는 ‘독’이다. 해설의 한 줄, 한 줄에 해당하는 개념을 반드시 꼼꼼하게 확인해야 한다. 그리고 자신이 어떤 부분에서 문제가 발생했는지 확인하고, 그 부분과 관련한 이론을 재차 이론서로 확인해야 한다. 또한 유사한 사고과정이 필요한 문제들도 함께 기록해서 비교할 수 있게 만들어야 한다. 그런데 보통은 그렇지가 않고 그냥 해설을 보면서 끄덕일 뿐이다.

3. 수학 (상·하) 과정의 개념이 부실하다.
수학 (상·하) 과정은 수리영역에서 두 가지 의미를 가진다. 첫 번째는 통합영역으로 불리는 문제 유형에서 문제 구성의 개념으로 사용된다. 두 번째는 모든 문제의 해답을 찾기 위한 도구로서의 개념을 가진다. 이 두 번째를 보통 간과하게 되는데, 그렇기 때문에 수학이 많이 힘들어진다. 모든 문제들은 그 해답을 얻기 위해서 식(방정식·부등식) 생성 및 풀이와 함수 해석 형태로 귀결된다. 그런데 식과 함수에 관한 이론은 바로 수학 (상·하) 과정에서 다루고 있다. 수학 I, 수학 II 등의 내용을 아무리 학습해도 4점 문제가 풀리지 않는 경우 자신의 풀이가 막힌 부분을 들여다 보자. 반드시 수학 (상·하) 개념이 장애물처럼 버티고 있을 것이다. 4점 문제가 풀리지 않는 근본적인 원인은 바로 수학 (상·하) 개념의 부실이다.

-4점, 너의 정체는 도대체 무엇이냐?-

1. 개념의 해석
‘숨겨놓은 개념. 그 숨겨놓은 개념을 잘 찾으면 문제가 쉽게 풀리는데, 그렇지 않으면…….’ ‘4점 문제는 어떤 성격인 것 같니?’라는 질문에 대한 어느 고3 여학생의 대답이다. 명확하지는 않지만, 4점짜리 문제의 대략적인 성격을 알고 있는 듯하다.

4점짜리 문제의 성격을 간략하게 표현하면 ‘개념의 해석’이다. 문제에 주어진 조건과 표현된 수학 용어를 통해 해당 문제가 요구하는 개념을 해석해 낼 것을 요구하는 것이 4점 문제의 본질이다. ‘해석’이란 표현이 조금 추상적인데, 앞서 대답한 여학생의 말 속에 ‘잘 찾으면’이라는 구절이 있다. 해석이란 바로 ‘(숨겨진 개념을) 찾는 방법 또는 이론’이라고 표현하면 조금은 구체적이라고 할 수 있다.

2. 통합적 사고
4점 문제 중, 통합영역이라고 분석되는 문제가 있다. 통합영역은 동일 교과 과정 내 단원 간 통합 유형(가령 수학 I의 로그와 행렬단원)과 다른 교과 과정 간 단원 통합 유형(가령 수학(하)의 원의 방정식과 수학 I의 행렬 단원)이 있다. 개념 상 서로 다르지만, 공통적인 속성이나 융합될 수 있는 근거가 있을 경우 그 단원들의 개념을 통합하여 출제하게 된다. 행렬의 성분을 지수나 로그로 표현하게 되면, 지수법칙과 로그성질 및 밑 변환 공식을 함께 물어 볼 수 있게 된다.

3. 2011학년도 수리영역(나형) 4점 문제 분석
구체적인 문제를 통해 과연 4점 문제는 어떻게 구성되어 있는지 살펴보는 것이 중요하다. 해마다 출제된 수능 문제를 보면 분석하면 특정 문항 번호와 출제 영역 및 배점이 거의 일치하는 경향이 있다. 약간의 변화가 있어도 아주 근소하다. 따라서 이를 잘 파악하면 수능을 준비하기 위한 전략을 미리 세울 수가 있다. 뿐만 아니라 출제 영역과 관련한 이론을 분석하면 우선적으로 학습해야 하는 단원의 우선순위를 정할 수도 있다. 결국 4점 문제도 그 출제 패턴을 읽을 수가 있는 것이다. 외부에는 알려져 있지 않지만, 4점 문제 출제와 관련한 세부 지침이 존재하고 있는데, 우리는 그것을 출제된 문제를 통해 추측할 수 있다.

-해석이론은 무엇인가?-

수학에서 ‘해석이론’이라는 것은 문제에 주어진 각종 조건과 수학 용어를 통해 관련 개념을 찾아내는 것이다. 이 과정은 우선 개념에 대한 완벽한 이해가 필요하고, 이를 바탕으로 문제의 조건을 빠트리지 않고 분석할 수 있는 능력이 필요하다. 물론 이러한 능력은 하루 아침에 길러지는 것이 아니라 부단한 노력이 요구된다. 해석이론은 이론에 대한 명확한 이해가 바탕이 될 때 비로소 정립할 수 있다.

‘함수=방정식+부등식’인 줄 아니?’라는 질문에 갸우뚱하는 학생이 대부분이었다. 대부분의 학생이 방정식의 실근의 개수를 묻는 문제를 그래프를 그려서 교점의 개수로 처리하는 문제풀이를 제대로 음미하지 않고 외워서 풀이하고 있다는 것을 알 수 있다. ‘함수=방정식+부등식’의 이론 구조를 알게 되면, 많은 문제를 해석할 수 있게 된다. 당장 함수문제인데, 좌표가 등장하면 이것은 100% 방정식 문제와 관련성을 가진다. 좌표를 함수식에 대입하면 등식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 당연히 좌표를 미지수로 제시하거나 함수식의 계수를 미지수로 제시할 수밖에 없게 된다.

지금 당장 수리영역 기출문제에서 함수 문제를 확인해 보면 그 사실을 알 수 있다. 또한 함수 관련 진위 판별형 문제에서 분수가 부등식의 형태로 표현되면 거의 기울기 문제이다. 해석이론을 스스로 세워나가기가 쉽지는 않지만, 4점 문제를 극복하기 위해서는 반드시 그 실체를 밝혀야 한다는 사실을 명심할 필요가 있다. 그러기 위해서는 4점 문제를 부단히 분석하고 관련 이론들을 확인하는 과정을 거쳐야 한다.

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