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'수학의 달인' 이광준, '수학, RE-START'

기사승인 2018.04.23  15:49:19

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- 제1탄 잘못된 개념 학습의 비극

야구선수들은 잘못된 배팅폼(타자가 배트를 휘두르는 자세)이나 투구폼(투수가 공을 던지는 자세)으로 말미암아 슬럼프에 빠지거나 일정 수준 이상 실력 향상이 되지 않는 경우가 있다. 이유는 ‘잘못된 자세’ 때문이다. 수학도 마찬가지로 잘못된 방법과 태도 때문에 처음 공부할 때와는 달리 어느 정도 공부가 진행됐을 때 생기는 문제점들이 있다. 이를 소홀히 하다가는 큰 곤경에 처하게 된다. 이번 칼럼부터는 수학 학습에 있어서 잘못된 태도의 유형과 구체적인 해결방안에 대해 살펴보도록 하자.

1. 개념은 도대체 무엇인가?
수학 공부를 할 때, ‘개념을 잘해야 한다. 공식을 잘 이해해야 한다’ 등의 얘기는 예외 없이 듣게 된다. 그런데 정작 개념이나 공식의 중요성에 대해 구체적이거나 명확하게 설명을 들을 수 있는 경우는 드물다. 그냥 중요하다고 하니까 중요한 줄로 다들 안다.

여기서 비극이 시작된다. ‘구체성’이나 ‘명확성’이 결여되면 감각적으로 행동할 수밖에 없는 것이 인간이다. 가령, ‘밭에 풀을 뽑아라’는 말과 ‘저기 보이는 100평 밭에 있는 풀을 3시간 내에 뽑아라’는 말에 대한 반응은 엄연히 차이가 난다.

전자의 말은 구체성과 명확성이 떨어지기 때문에 그 말을 들은 누군가는 자신의 감각대로 판단해서 일을 처리할 뿐이다. 당연히 풀을 뽑는 귀찮은 일을 열심히 할리는 만무하다. 적당한 선에서 풀 뽑는 흉내만 내고 그칠 것이 다분하다.

개념을 왜 잘해야 하는지 그 이유를 알기 전에 개념의 정의에 대해 살펴볼 필요가 있다. 선생님들이나 학생들이 개념과 공식을 혼용해서 섞는 경우가 많은데, 엄밀히 말하면 개념 속에 공식이 포함된다고 보는 것이 맞다. 수학에서 개념으로 부를 수 있는 대상을 보면 다음과 같다. 정의, 공식, 법칙, 성질, 정리. 이 다섯 가지를 수학에서 개념이라고 이해하면 큰 문제가 없다.

우선 개념의 의미를 살펴보면, 분야마다 다양하게 쓰이고 있지만 간단히 표현하면 다음과 같다. 개개의 사물이나 현상으로부터 공통적·일반적 성질을 뽑아내서 만들어진 관념이나 표상(表象)을 개념이라 한다. 다소 추상적인 느낌이 드는데 그것이 개념의 속성이라고 보면 된다. 공통적·일반적 성질을 뽑아내어 만든 것이 개념이기 때문에 속성상 추상적일 수밖에 없다. 쉽게 말해 개념은 공통적 성질을 대표해서 만든 것 정도로 이해하자. 다음으로 개념의 구체적인 대상인 정의, 공식, 법칙, 성질, 정리의 의미를 살펴보자.

2. 정의와 공식・법칙・성질・정리
(1) 정의
‘정의’라는 것은 어떤 대상을 보편적으로 논의하기 위해서 사용하는 용어나 기호의 의미를 나타낸 문장 내지 식을 의미하며 해당 단원의 내용을 전개하기 위한 시작점이다. 정의의 구체적인 예로 ‘미분계수의 정의’를 살펴보자.

   
 

여러 가지 용어와 기호로 표현되고 그 의미가 서술되고 있음을 볼 수 있다.

(2) 공식, 법칙, 성질, 정리
보통 공식이라고 함께 부르는 경우가 많은데 실제로는 공식의 지위를 갖는 개념은 공식, 법칙, 성질, 정리, 네 가지가 존재하고 그 의미는 각각 차이가 있다.

‘공식’계산의 법칙이나 방법을 문자와 기호를 써서 나타낸 식을 의미한다. ‘법칙’은 여러 의미가 있지만, 수학에서는 연산의 규칙을 의미한다. ‘성질’은 보통 그 의미를 설명하고 있지 않지만, 법칙이나 정리와 같은 맥락에서 이해하면 충분하다. ‘정리’수학적으로 참인 명제로부터 증명(證明)에 의해 유도된다. 즉 정리는 참인 명제에 의해 표현된 것으로 이해할 수 있다. 성질과 정리의 구체적인 예를 살펴보자.

   
 
   
 

‘연속함수의 성질’과 ‘사이값 정리’의 의미를 자세히 살펴보면 ‘연속이면’과 ‘연속이고’의 표현이 등장하는 것을 알 수 있다. 이는 연속이 전제될 때, 그 존재가 가능함을 나타낸다. 즉, 어떤 함수가 ‘연속이 정의’될 때 비로소 등장하게 되는 개념임을 알 수 있다.

여기서 ‘정의’와 ‘공식, 법칙, 성질, 정리’의 상관관계를 추론할 수 있다. 그 정도로 정의가 중요함에도 불구하고 대부분의 학생들은 ‘정의’에는 소홀한 측면이 있고 이해하더라도 의미 하나 하나를 엄격하게 이해하지는 않는 것 같다. 거기서 비극이 시작된다.

개념에서 비롯되는 수학 학습에서의 구체적인 비극과 해결 방법에 대해서는 다음호 칼럼에서 구체적으로 살펴보자. 그 전에 앞서 지금부터라도 새로운 수학 개념을 공부할 때, 교과서를 쓱 훑어보지만 말고 연습장에 직접 써보고 나지막히 읊어 보는 태도를 갖도록 하자. 

   
 

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