[대학저널 황혜원 기자] 수학이 정식과목으로 도입된 이래 수학 학습에 대한 고민은 하루도 문제가 되지 않은 적이 없다. 오래 전으로 거슬러 올라가도 크게 다르지 않을 것이다. 이전과 비교해 학습 환경은 비교도 할 수 없을 만큼 발전했지만, 학생들에게 수학은 여전히 어려운 과목이다.
지난 칼럼에서는 수학 학습의 바른 방법에 대한 ▲개념학습의 정석 ▲문제풀이의 정석 ▲오답정리의 정석 시리즈 가운데 첫 번째로 ‘개념학습의 정석-개념학습의 함정’에 대해 살펴봤다. 개념학습 방법에 대한 구체적인 모델 제시가 없고, 단순히 개념 자체에만 몰두하게 되는 문제를 짚어봤다. 이번 칼럼에서는 개념학습을 바르게 하는 구체적인 방법과 과정을 살펴본다.

■ 개념노트를 활용하자

개념노트란 개념(정의, 공식, 법칙, 성질, 정리)을 비롯해 자신이 추가적으로 학습한 내용과 이해도를 높이기 위한 부가설명, 오답 발생 개념에 대한 대책 등을 기록한 노트라고 할 수 있다.

자신만의 개념노트는 반드시 필요하다. 혹자는 ‘교과서나 기타 이론서를 이용하면 되지 않느냐’고 반문하지만, 필자는 이에 반대하는 입장이다.

첫째 수학 개념들이 ‘이미’ 쓰여 있는 이론서와 자신이 ‘직접’ 기록하는 개념노트는 분명히 차이가 있다. 스스로 기록하면서 눈으로만 개념을 익히는 것이 아닌 손까지 이용하게 되면서 추가 자극에 의해 학습효과를 더욱 높일 수 있다.

둘째 친밀성 측면에서도 차이가 있다. 자신의 필체와 학습의 흔적들이 남아 있는 개념노트에 친근감이 생기게 되면서 학습 시 거부감이 반감된다.

셋째 개념의 업데이트 문제가 있다. 수학 공부를 하다 보면, A라는 개념과 다른 단원의 B라는 개념이 밀접한 관련성을 갖는 경우가 있다. 해당 개념들의 연관성에 대한 추가 서술이 필요한 경우다. 이럴 때 기존의 이론서보다는 본인이 직접 작성한 개념노트에 해당 내용을 업데이트하는 것이 용이하다. 뿐만 아니라 오해한 개념으로 인해 오답이 발생한 경우에도, 개념노트에 해당 오개념에 대한 자신의 문제점 인식과 해결을 기록하는 것이 훨씬 효율적이다.

마지막으로 수학실력이 뛰어한 학생들의 경우 대부분 자신의 개념노트를 보유하고 있다는 사실이다. 예외적인 경우도 있지만 필자의 경험에 의하면 대부분 자신의 개념노트를 보유하고 있었으며, 기존 이론서에서는 볼 수 없는 심화된 이론과 자신의 문제점에 대한 내용들이 매우 상세하게 기록돼 있었다.

■ 구체적인 개념노트 작성법

<그림>은 고등학교 1학년 과정의 ‘원의 방정식’ 단원을 개념노트에 정리한 샘플이다. 이를 통해 구체적인 작성 방법을 살펴보도록 하자.

- 1차 개념 서술

교과서 등 각종 이론서 중에서 개념을 서술하기 위해 참고할 이론서를 선택하고, 이론서를 바탕으로 목차별 제목과 핵심적인 내용을 구체적으로 서술한다.

샘플을 예로 들면, ‘1. 원의 방정식’, ‘2. 두 원의 교점을 지나는 원과 직선’ 등의 목차별 제목을 서술하고 이론서에 있는 내용 중 핵심적인 내용을 개념노트에 서술하는 것이다. 주의할 점은 개념 중 정의에 관한 내용은 이론서의 내용을 한 글자도 빠트리지 않고 기록하는 것이다.

샘플의 경우, ‘원의 정의’ 부분에 대한 구체적인 서술이 보이지 않는다. 작성자가 원의 정의에 대해 잘 알고 있어서 굳이 기록하지 않은 것으로 추측할 수 있다. 이것은 잘못된 태도다.

정의는 개념의 기본이자 본질이다. 원은 한 정점(중심)으로부터 일정한 거리(반지름)에 이르는 점들의 집합으로 정의된다. 이를 통해 원의 모든 개념들이 중심과 반지름을 기반으로 전개될 수 있음을 알게 된다. 따라서 원과 관련된 여러 개념들을 중심과 반지름을 통해 이해할 수 있다는 명확한 기준이 생긴다. 하지만 개념을 알고 있다고 해서 정리할 필요가 없다는 잘못된 태도로 일관한다면 개념을 유기적으로 이해할 수 있는 기회를 놓치게 된다. 정의는 한 글자도 빠트리지 말고 정확하게 정리하고 기록하도록 하자. 마지막으로 1차적으로 개념을 서술할 때 개념 간 여백을 여유롭게 둬서 추가로 서술할 수 있는 공간을 확보하는 것이 중요하다.

- 2차 추가 서술

2차 서술은 기존의 1차 개념 서술에 내용을 추가하는 과정이다. 추가 서술의 목적은 1차 개념 서술에 대한 심화 및 부연 서술, 오답 발생 개념에 대한 추가 서술, 다른 단원 관련 개념에 대한 서술 등 다양하다. 샘플의 초록 박스로 표시된 부분이 구체적인 사례라고 할 수 있다. 이런 2차 추가 서술이 기존의 이론서와 차별화되는 자신만의 개념노트가 갖는 경쟁력이다.

- 지속적인 내용 업데이트

특정 개념과 관련한 다양한 문제들을 접하다 보면, 특정 개념과 관련이 있거나 파생되는 등의 다양한 내용을 계속 만나게 된다. 이런 내용을 잘 이해하고 정리해서 지속적으로 개념노트를 업데이트하는 것이 중요하다.

■ 개념노트의 암기

개념노트를 열심히 작성해 놓고 암기를 하지 않는 경우도 종종 볼 수 있다. 개념노트 작성 목적이 무의미하게 된 상황이다. 문제가 풀리니까 스스로 개념을 잘 안다고 생각해 작성한 개념노트를 방치하게 된다.

이런 태도로 수학학습을 하게 되면 심화 문제를 비롯한 고난도 문항에 대한 해석과 응용능력을 키울 수 없게 된다. 개념노트를 작성했으면 반드시 구체적인 계획을 세워서 개념노트를 이해하고 암기하도록 노력해야 한다.

필자가 직접 체험한 사례로, 모든 과목이 1등급인데 유독 수학만 장기간 2등급에 머물렀던 학생이 있다. 이 사례에서 문제가 됐던 것은 바로 개념노트를 온전히 작성하지 않았다는 사실이었다. 이 학생은 뒤늦게 개념노트를 작성하면서 고난도 문항에 대한 정답률이 점차 높아지기 시작했다. 개념노트 작성은 자유로운 선택이 아닌 수학 학습에서 반드시 해야 할 의무 사항임을 잊지 말자.

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